Witaj ponownie!
Mail Grupowy pomaga Twojej grupie sprawnie się komunikować, dzielić notatkami, wydarzeniami i opiniami. Dowiedz się więcej »
Przedmioty Wykładowcy Uczelnie

wykłady z elektrotechniki- (wszystkie)


Podgląd

WykĹady z elektrotechniki.pdf

Podgląd pliku (pełna wersja wyższej jakości po zalogowaniu):


Lekcja 1. Podstawowe prawa obwodów elektrycznych

Wstęp Lekcja pierwsza wprowadza podstawowe pojęcia i prawa obwodów elektrycznych, w tym

prąd i napięcie, elementy liniowe obwodu w postaci rezystora, cewki i kondensatora oraz

źródła sterowane i niezależne. Najważniejszym prawem teorii obwodów jest prawo prądowe i

napięciowe Kirchhoffa, podane tutaj w postaci ogólnej. Z prawa Kirchhoffa wynikają reguły

upraszczania obwodów, zdefiniowane dla połączenia szeregowego, równoległego oraz

transfiguracji gwiazda-trójkąt i trójkąt-gwiazda.

1.1. Podstawowe pojęcia obwodów

Teoria obwodów stanowi jedną z dziedzin elektrotechniki zajmującą się stroną teoretyczną

zjawisk występujących w obwodach elektrycznych, w tym metodami analizy rozpływu

prądów i rozkładu napięć obwodu w stanie ustalonym i nieustalonym. Przyjmuje się, że

nośnikami elektryczności są cząstki elementarne: elektrony i protony występujące w atomie.

W przypadku przewodników elektrycznych najważniejszą rolę odgrywają elektrony

swobodne, stanowiące trwałe nośniki ujemnego ładunku q, wyzwolone z przyciągania jądra

atomu oraz jony, stanowiące cząsteczki naładowane dodatnio lub ujemnie. Ładunek

elektryczny elektronu, oznaczany jest literą e a jego wartość e=1,602⋅10

-19

C.

Prąd elektryczny powstaje jako uporządkowany ruch ładunków elektrycznych i jest utożsamiany

w teorii obwodów z pojęciem natężenia prądu elektrycznego. W ogólności definiowany jest jako

granica stosunku ładunku elektrycznego przepływającego przez przekrój poprzeczny elementu do

rozpatrywanego czasu, gdy czas ten dąży do zera. Prąd elektryczny oznaczany będzie literą i (dużą lub

małą). Jest wielkością skalarną a jej jednostką w układzie SI jest amper (A).

Każdemu punktowi w środowisku przewodzącym prąd elektryczny można przyporządkować

pewien potencjał mierzony względem punktu odniesienia. Różnica potencjałów między dwoma

punktami tego środowiska nazywana jest napięciem elektrycznym. Jednostką napięcia elektrycznego

jest volt (V).

1



1.2. Elementy obwodu elektrycznego

Za obwód elektryczny uważać będziemy takie połączenie elementów ze sobą, że istnieje możliwość

przepływu prądu w tym połączeniu. Obwód jest odwzorowywany poprzez swój schemat, na którym

zaznaczone są symbole graficzne elementów oraz sposób ich połączenia ze sobą, tworzący określoną

strukturę.

Na strukturę obwodu elektrycznego poza elementami składają się również gałęzie, węzły i

oczka. Gałąź obwodu jest tworzona przez jeden lub kilka elementów połączonych ze sobą w

określony sposób. Węzłem obwodu jest zacisk będący końcówką gałęzi, do którego można dołączyć

następną gałąź lub kilka gałęzi. Gałąź obwodu tworzą elementy ograniczone dwoma węzłami. Oczko

obwodu to zbiór gałęzi połączonych ze sobą i tworzących drogę zamkniętą dla prądu elektrycznego.

Oczko ma tę właściwość, że po usunięciu dowolnej gałęzi ze zbioru pozostałe gałęzie nie tworzą drogi

zamkniętej. W obwodzie o zadanej strukturze istnieje ściśle określona liczba węzłów, natomiast liczba

oczek jest wprawdzie skończona ale bliżej nieokreślona.

Element jest częścią składową obwodu niepodzielną pod względem funkcjonalnym bez utraty

swych cech charakterystycznych. Na elementy obwodu składają się źródła energii elektrycznej oraz

elementy akumulujące energię lub rozpraszające ją. W każdym elemencie mogą zachodzić dwa lub

nawet wszystkie trzy wymienione tu procesy, choć jeden z nich jest zwykle dominujący. Element jest

idealny jeśli charakteryzuje go tylko jeden rodzaj procesu energetycznego.

Elementy posiadające zdolność akumulacji oraz rozpraszania energii tworzą klasę elementów

pasywnych. Nie wytwarzają one energii a jedynie ją przetwarzają. Najważniejsze z nich to rezystor,

kondensator oraz cewka. Elementy mające zdolność generacji energii nazywane są źródłami.

Zaliczamy do nich niezależne źródło napięcia i prądu oraz źródła sterowane.

Każdy element obwodu może być opisany równaniami algebraicznymi lub różniczkowymi,

wiążącymi prąd i napięcie na jego zaciskach. Element jest liniowy, jeśli równanie opisujące go jest

liniowe. W przeciwnym wypadku element jest nieliniowy.

1.2.1. Rezystor

Rezystor, zwany również opornikiem należy do klasy elementów pasywnych rozpraszających energię.

W teorii obwodów rezystor uważa się za element idealny i przypisuje mu tylko jedną cechę

(parametr), zwaną rezystancją lub oporem. W dalszej części rozważać będziemy wyłącznie rezystor

liniowy. Rezystancję (oporność) oznaczać będziemy literą R a jej odwrotność jest nazywana

konduktancją i oznaczana literą G, przy czym R = 1/G. Symbol graficzny rezystora liniowego

przedstawiony jest na rys. 1.1.

2



Rys. 1.1. Oznaczenie rezystora liniowego

Opis matematyczny rezystora wynika z prawa Ohma, zgodnie z którym

u R

=

Ri R (0.1)

Spadek napięcia na rezystorze liniowym jest proporcjonalny do prądu przepływającego przez niego a

współczynnik proporcjonalności jest równy rezystancji R. Wartość rezystancji rezystora liniowego

przyjmuje wartość stałą. Jednostką rezystancji jest om (Ω) a konduktancji siemens (S).

W realizacji praktycznej opornik jest wykonywany najczęściej z drutu metalowego o długości

l, polu przekroju poprzecznego S i rezystancji właściwej ρ. Rezystancja takiego opornika jest wprost

proporcjonalna do l i ρ a odwrotnie proporcjonalna do S, stąd R = ρ l/S.

1.2.2. Cewka

Cewka zwana również induktorem należy również do klasy elementów pasywnych. Ma

zdolność gromadzenia energii w polu magnetycznym. Cewce idealnej przypisuje się tylko

jedną właściwość, zwaną indukcyjnością własną (w skrócie indukcyjnością) L. W przypadku

cewki liniowej indukcyjność definiuje się jako stosunek strumienia Ψ skojarzonego z cewką

do prądu płynącego przez nią, to znaczy

L

= Ψ

(0.2)

L

Strumień skojarzony Ψ cewki o z zwojach jest równy sumie strumieni wszystkich zwojów

cewki, to jest =Ψ φz (φ - strumień skojarzony z jednym zwojem cewki, z – liczba zwojów).

Jednostką indukcyjności jest henr (H), przy czym 1H = 1Ωs. Napięcie cewki wyrażone jest

jako pochodna strumienia względem czasu

i

3



d u

L

= Ψ

(0.3)

W przypadku cewki liniowej, dla której strumień jest iloczynem prądu i indukcyjności L,

L

dt

=Ψ Li , relacja napięciowo-prądowa upraszcza się do postaci

Lu L

= di

L dt

(0.4)

Na rys. 1.2 przedstawiono symbol graficzny cewki liniowej o indukcyjności L.

Rys. 1.2. Symbol graficzny cewki liniowej

Zauważmy, że przy stałej wartości prądu cewki napięcie na niej jest równe zeru, gdyż

pochodna wartości stałej względem czasu jest równa zeru. Stąd cewka w stanie ustalonym

obwodu przy prądzie stałym zachowuje się jak zwarcie.

Interesujące zjawiska powstają w układzie dwu cewek położonych blisko siebie, w

których zachodzi wzajemne przenikanie się strumieni magnetycznych. Jeśli dwie cewki o

indukcyjnościach własnych

L 1

i

L 2

są tak usytuowane, że strumień wytworzony przez jedną z

nich jest skojarzony z drugą to takie cewki nazywamy sprzężonymi magnetycznie. Na rys. 1.3

przedstawiono oznaczenie cewek sprzężonych magnetycznie. Gwiazdkami oznaczono

początki uzwojeń każdej cewki.

Rys. 1.3. Oznaczenie cewek sprzężonych magnetycznie

4



Obok indukcyjności własnej wprowadza się dla nich pojęcie indukcyjności wzajemnej M,

jako stosunek strumienia magnetycznego wytworzonego w cewce pierwszej i skojarzonego z

cewką drugą do prądu płynącego w cewce pierwszej, a więc

= Ψ

=

Ψ

(1.5)

2

gdzie

21

M

21

12 i

1 i ψ oznacza strumień skojarzony z cewka drugą wytworzony przez prąd płynący w

cewce pierwszej a

ψ 12

– strumień skojarzony z cewka pierwszą wytworzony przez prąd

płynący w cewce drugiej. Jednostką indukcyjności wzajemnej jest również henr.

Istnienie sprzężenia magnetycznego powoduje indukowanie się napięć na cewce

wskutek zmian prądu płynącego w cewce drugiej. Zgodnie z prawem indukcji

elektromagnetycznej napięcie wytworzone na skutek indukcji wzajemnej określone jest

wzorem

Lu

M

1

= di 1 1 dt

± M

di 2 dt

(1.6)

Lu

M

2

= di

2 2 dt

± M

di 1 dt

(1.7)

Znak plus lub minus występujący we wzorze jest uzależniony od przyjętego zwrotu prądu

względem początku uzwojenia cewki. Przyjmuje się znak plus, jeśli prądy w obu elementach

sprzężonych magnetycznie mają jednakowe zwroty względem zacisków oznaczających

początek uzwojenia (oznaczone na rysunku gwiazdką). Przy zwrotach przeciwnych przyjmuje

się znak minus. Z zależności powyższych widać, że w elementach sprzężonych magnetycznie

energia elektryczna może być przekazywana z jednego elementu do drugiego za

pośrednictwem pola magnetycznego. Co więcej, nawet przy braku przepływu prądu przez

cewkę, może na niej pojawić się napięcie pochodzące ze sprzężenia magnetycznego od cewki

drugiej.

1.2.3. Kondensator

Kondensator jest elementem pasywnym, w którym istnieje możliwość gromadzenia

energii w polu elektrycznym. Kondensatorowi idealnemu przypisuje się tylko jedną

5



właściwość zwaną pojemnością C. W przypadku kondensatora liniowego pojemność C jest

definiowana jako stosunek ładunku q zgromadzonego w kondensatorze do napięcia między

okładzinami tego kondensatora

C = u

q

C

(1.8)

W układzie SI jednostką ładunku jest kulomb (C), a pojemności farad (F), przy czym

1 F = 1 C/V. Zależność wiążąca napięcie i prąd kondensatora dana jest w postaci równania

różniczkowego

Ci C

= du

C dt

(1.9)

Symbol graficzny kondensatora przedstawiony jest na rys. 1.4.

Rys. 1.4. Symbol graficzny kondensatora

Podobnie jak w przypadku cewki, jeśli napięcie na zaciskach kondensatora jest stałe, jego

prąd jest równy zeru (pochodna wartości stałej względem czasu jest zerem). Kondensator

zachowuje się wtedy jak przerwa (pomimo istnienia napięcia prąd nie płynie).

1.2.4. Niesterowane źródło napięcia i prądu

Źródło niesterowane (niezależne) prądu bądź napięcia, zwane w skrócie źródłem prądu i

źródłem napięcia, jest elementem aktywnym, generującym energię elektryczną, powstającą

zwykle z zamiany innego rodzaju energii, na przykład z energii mechanicznej, słonecznej,

jądrowej itp. W teorii obwodów rozważać będziemy źródła idealne należące do klasy źródeł

napięciowych bądź prądowych. Symbol idealnego niesterowanego źródła napięcia

przedstawiony jest na rys. 1.5a, natomiast źródła prądu na rys. 1.5.b.

6



Rys. 1.5. Symbole graficzne niesterowanego źródła a) napięcia, b) prądu

Niesterowane źródła prądu i napięcia mają następujące właściwości.

• Napięcie na zaciskach idealnego źródła napięcia nie zależy od prądu przepływającego

przez to źródło, a zatem nie zależy od jego obciążenia.

• Przy stałym napięciu u panującym na zaciskach oraz prądzie i wynikającym z

obciążenia, rezystancja wewnętrzna idealnego źródła napięciowego, definiowana w

postaci zależności różniczkowej R

w

== du di

0 . Stąd idealne źródło napięcia

charakteryzuje się rezystancją wewnętrzna równą zeru (zwarcie z punktu widzenia

rezystancyjnego).

• Prąd idealnego źródła prądu nie zależy od obciążenia tego źródła, a więc od napięcia

panującego na jego zaciskach.

• Przy stałym prądzie płynącym przez idealne źródło prądowe i dowolnym (bliżej

nieokreślonym) napięciu panującym na jego zaciskach rezystancja wewnętrzna

idealnego źródła prądowego jest równa nieskończoności. Stąd idealne źródło prądowe

z punktu widzenia rezystancyjnego reprezentuje sobą przerwę.

Rys. 1.6 przedstawia charakterystyki prądowo-napięciowe obu rodzajów idealnych źródeł

niesterowanych: napięcia (rys. 1.6a) i prądu (rys. 1.6b).

7



Dla źródła napięciowego charakterystyka jest równoległa do osi prądowej (wartość napięcia u

stała), a dla źródła prądowego równoległa do osi napięciowej (wartość prądu i stała). Tak

podane charakterystyki odnoszą się do źródeł stałych. W przypadku źródeł sinusoidalnych

idealność jest rozumiana jako stałość parametrów źródła (amplituda, faza początkowa oraz

częstotliwość niezależne od obciążenia).

Przykładami źródła napięcia stałego jest akumulator, źródła napięcia zmiennego -

generator synchroniczny, źródła prądowego - elektroniczny zasilacz prądowy o

stabilizowanym, niezależnym od obciążenia prądzie, itp.

1.2.5. Źródła sterowane prądu i napięcia

W odróżnieniu od źródeł niesterowanych, których prąd lub napięcie (bądź parametry

charakteryzujące je, np. amplituda i częstotliwość) były stałe, ustalone na etapie wytworzenia,

źródła sterowane z definicji zależą od wielkości sterujących, którymi mogą być prąd lub

napięcie dowolnego innego elementu w obwodzie.

Źródło sterowane jest więc elementem czterozaciskowym i charakteryzuje się tym, że

napięcie lub prąd na jego zaciskach wyjściowych są proporcjonalne do napięcia lub prądu

związanego z druga parą zacisków sterujących. Wyróżnić można cztery rodzaje źródeł

sterowanych:

• źródło napięcia sterowane napięciem, opisane równaniem

auu 2 = 1 • źródło napięcia sterowane prądem, opisane równaniem

riu 2 = 1 • źródło prądu sterowane napięciem, opisane równaniem

gui 2 = 1 • źródło prądu sterowane prądem, opisane równaniem

bii 2 =

1

Rys. 1.6. Charakterystyki prądowo-napięciowe idealnych źródeł niesterowanych:

a) źródło napięcia, b) źródło prądu

8



Schematy graficzne wszystkich wymienionych tu rodzajów źródeł sterowanych prądu i

napięcia przedstawione są na rys. 1.7.

Wielkości r, g oraz a i b stanowią współczynniki proporcjonalności między wielkością

sterująca i sterowaną tych źródeł. Przyjmują one najczęściej wartości rzeczywiste, choć w

różnego rodzaju modelach mogą być również opisane funkcją zespoloną. Należy nadmienić,

że źródła sterowane stanowią bardzo popularne modele wielu elementów elektrycznych i

elektronicznych, takich jak transformatory idealne, maszyny elektryczne, tranzystory

bipolarne i polowe, wzmacniacze operacyjne napięciowe i prądowe, itp.

1.3. Prawa Kirchhoffa

Pod pojęciem analizy obwodu elektrycznego rozumie się proces określania rozpływu prądów

i rozkładu napięć w obwodzie przy założeniu, że znana jest struktura obwodu oraz wartości

wszystkich jego elementów. Podstawę analizy obwodów elektrycznych stanowią prawa

Kirchhoffa, podane przez niemieckiego fizyka Gustawa Kirchhoffa w dziewiętnastym wieku.

Wyróżnia się dwa prawa określające rozpływ prądów i rozkład napięć w obwodzie. Pierwsze

prawo Kirchhoffa kojarzy się zwykle z bilansem prądów w węźle obwodu elektrycznego a

drugie z bilansem napięć w oczku.

1.3.1. Prawo prądowe

Suma prądów w każdym węźle obwodu elektrycznego jest równa zeru

Rys. 1.7. Schematy graficzne źródeł sterowanych

9



0 ∑ = k i k

(1.10)

Sumowanie dotyczy wszystkich prądów, które dopływają lub odpływają z danego oczka, przy

czym wszystkie prądy wpływające do węzła brane są z jednakowym znakiem a wszystkie

prądy wypływające z węzła ze znakiem przeciwnym (nie jest istotne czy znak plus dotyczy

prądów wpływających czy wypływających). Sposób tworzenia równania prądowego

Kirchhoffa zilustrujemy dla jednego węzła obwodu przedstawionego na rys. 1.8.

Rys. 1.8. Przykład węzła obwodu elektrycznego

Prawo Kirchhoffa dla tego węzła z uwzględnieniem kierunków prądów w węźle zapiszemy w

postaci

iiiii

1

=−−++ 2 3 4 5 0

Można je również zapisać jako bilans prądów dopływających i odpływających od węzła w

postaci

iiiii 1 +=++ 2 3 4 5 Dla każdego obwodu można napisać dokładnie n-1 niezależnych równań prądowych, gdzie n

oznacza całkowitą liczbę węzłów a (n-1) liczbę węzłów niezależnych. Bilans prądów w

pozostałym n-tym węźle obwodu wynika z równań prądowych napisanych dla n-1 węzłów

10

Współpraca